hilbert

David Hilbert, 1862－1943 60 級高其舟繪

Hilbert（1862～1943），於代數不變量、代數數論、幾何基礎、變分法、Hilbert 空間等方面都有了不起的貢獻。他提倡數學公理化，還有提出「Hilbert 問題」，對於二十世紀的數學發展影響甚大。 1862 年 Hilbert 生於 Konigberg（當時為東普魯士首都，二次大戰畫入俄羅斯版圖），1880 年進入當地大學，1884 年得博士學位，1886 年起在該大學教書，1892 年成為教授並成婚。1895 年成為 Göttingen 大學教授，一直到過世為止。
Hilbert 做數學的特色是每一時期只專注於一個領域，把主要問題解決後，就轉往另一領域。
1884 至 1892 年，Hilbert 專注於代數不變量，證明代數式之任一變換群的不變量，都有一組有限的基底，而且可以實際建構出來。1892 至 1898 年則專注於代數數論，奠定了類體論的基礎。1898 年開始專注於平面幾何公理化的問題，結果在次年完成《幾何的基礎》一書，為平面幾何建立了完整的公理化系統。1899 到 1901 年則是 Hilbert 的變分法時期，以嚴格的證明，確立了 Dirichlet 原理。1902 年，Hilbert 轉向積分方程，由此導出無窮維線性空間（Hilbert 空間），為隨後的量子物理學儲備了犀利的數學工具。
除了在各領域有傑出的成就外，Hilbert 將幾何嚴格公理化的想法很快普及到數學的各領域，而 Hilbert 自己也認真學習物理，想把物理的各分支公理化；不過他在物理學公理化方面的成就有限。1922 年，Hilbert 轉到研究公理化本身。但 1930 年代，Godel 的幾篇論文卻使這樣的希望未能完全實現。
此外，Hilbert 於 1900 年巴黎第二屆國際數學會議演講也深深影響了二十世紀數學的發展。他認為問題是數學活動的泉源，而問題有些來自經驗與自然現象，有些則因為要將一門學問做邏輯整合、一般化、特殊化而產生。這種理論與經驗的交互作用使得數學變得非常有用。他在此定名為「數學問題」的演講後半中，舉了 23 個有待二十世紀數學家來解決的問題，一一加以說明其背景。這就是著名的 Hilbert 問題，它們的確在二十世紀的數學發展中扮演很重要的角色。
1933 年希特勒當權，開始迫害猶太人，Hilbert 的故舊門生紛紛離開德國。Hilbert 變得孤獨，再也沒有活力，就此拖完餘生。
【撰稿：曹亮吉。感謝台大數學系《數學知識》網站同意轉載】

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