sage

sage與高中數學的應用

李昱勳

June 25, 2013

前言
1 第一冊函數（簡易繪圖及基本操作）
1.1 數與式
  1.1.1 數與數線
1.2 多項式函數
1.3 數
  1.3.1 簡單多項式函數及其圖形
  1.3.2 多項式的運算與應用
2 第二冊有限數學（Sagemath 與 R 語言）
2.1 排列、組合
  2.1.1 排列
  2.1.2 組合
2.2 機率統計
  2.2.1 機率
  2.2.2 二項分佈
  2.2.3 抽樣
3 第四冊線性代數（矩陣運算）
3.1 矩陣
  3.1.1 矩陣的運算
  3.1.2 平面上的線性變換
4 數學甲I（Sage的互動功能）
4.1 三角函數
  4.1.1 三角函數的圖形
附錄
A SageTEX
A.1 SageTEX的安裝
A.2 SageTEX的使用
參考資料

前言

隨著科技的演進，資訊融入教育已顯得愈來愈重要。以電腦科技輔助學習能讓學生更容易理解，更容易產生互動，而非教師單向傳遞知識。由於 Sagemath 入門門檻低且性能強大，可以進行許多複雜的數學運算等因素，本次將嘗試把 Sage 應用到高中數學科的教學上，並擷取高中課本出現的例題進行操作。

Sagemath 是一個覆蓋許多數學功能的應用軟體，最初的目標是創造一個數學套裝軟體 Magma、Maple、Mathematica 和 MATLAB 的開源替代品。通過其 Sage Notebook 圖形化界面，可以讓我們更快速地瞭解如何使用 Sagemath 。安裝說明不在此一一敘述，請參考網上資源¹ 。

Figure 1: Sage Notebook 界面

Sage 中包含了許多軟體包，我們可以在 Sage Notebook 中選擇不同的軟體語言來使用。而本文中主要針對 sage 的使用，而在機率與統計部分則會使用 r language 來進行運算。

Figure 2: 語言選擇

按編：

礙於篇幅，本文僅挑選高中數學一三四五冊中部分課程進行介紹，待未來有機會再進行更全面的課程教學。
文中部分圖形可能與實際指令所產生的圖形稍有出入，乃是為了指令教學的入門難度以及文章整體排版美觀所作的取捨。
如欲將文中指令複製到 Sage 中執行，請注意部分單引號可能會導致執行錯誤的情況，解決方法為：將原有引號刪除，以手動方式重新輸入引號。

Chapter 1
第一冊函數（簡易繪圖及基本操作）

近年來，由於許多學科的數量化與數學化的需求，使得各國的高中數學教育特別重視函數及其應用，在先進國家，學生除用描點繪圖外，還用電腦繪圖輔助函數的學習，以建立其函數與圖形的直觀連結。

1.1 數與式

1.1.1 數與數線

乘法公式

這裡將介紹如何利用指令expand()及collect()進行乘法公式之推導

expand()：展開以符號表達的式子。
collect(s)：將所有s的系數收集成群。

例題：設 $x, a, b, c$ 都是實數，導出 $(x + a) (x + b) (x + c) = x^{3} + (a + b + c) x^{2} + (a b + b c + c a) x + a b c .$    x,a,b,c = var("x,a,b,c")
   f=expand((x+a)*(x+b)*(x+c))
   f.collect(x)

即可得到答案如下： $(a + b + c) x 2 + a b c + x 3 + (a b + a c + b c) x$

1.2 多項式函數

此部分將介紹如何以 sage 繪製簡單的函數圖形，並建立斜率的幾何意義。

首先，先介紹一個繪圖的常用指令： plot()

1.3 數

與式

1.3.1 簡單多項式函數及其圖形

一次函數

此部分將介紹如何以 sage 繪製簡單的函數圖形，並建立斜率的幾何意義。

首先，先介紹一個繪圖的常用指令： plot()
透過這個指令可以畫出平面上的圖形。我們試著畫出 $y = 2 x$ 的圖形，在方框中輸入以下指令後按下 evaluate 鍵¹ plot(2*x)

即可得到 $y = 2 x$ 的圖形²

接下來試著改變 $x$ 項前面的系數

y = \frac{1}{2} x

$y = - 4 x y = - \frac{1}{2} x$

隨著系數的改變，可以看見直線的傾斜程度在改變，我們稱這個系數為「斜率」

形如 $y = m x + k$ 的函數，我們稱之為一次函數，透過繪圖我們可以知道一些性質：圖形是一條斜率為2的直線，與 $y$ 軸交點稱之為 $y$ 截距，與 $x$ 軸交點稱之為 $x$ 截距。圖中這個函數的 $y$ 截距為 $- 4$ ， $x$ 截距為 $2$ 。 plot(2*x-4)

y = 2 x - 4

二次函數

此部分主要針對二次函數的平移進行繪圖操作，並學習如何將多個函數圖形在 sage 同時畫在一個坐標平面上。首先我們畫出這三個函數³ ： $f (x) = x^{2}$ 、 $f_{1} (x) = {(x - 1)}^{2}$ 、 $f_{2} (x) = {(x - 1)}^{2} - 1$    plot(x^2,-3,3)
   plot((x-1)^2,-3,3)
   plot((x-1)^2-1,-3,3)

接下來在上面三行指令分別加上p、p1、p2，作為命名之用。    p=plot(x^2,-3,3)
   p1=plot((x-1)^2,-3,3)
   p2=plot((x-1)^2-1,-3,3)

最後引入一個新的指令 show()，目的是顯示出p、p1、p2三個圖形⁴

show(p+p1+p2)

透過三個圖形的重疊可以看出p、p1、p2之間的關係： p為原本的圖形，向右移動一個單位後產生p1，再將p1往下移動一個單位形成p2。

1.3.2 多項式的運算與應用

多項式的加法與減法

例題：設 $P (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 2$ ， $Q (x) = 2 x^{4} + x^{3} - x + 4$ ，求 $P (x) + Q (x)$ 及 $P (x) - Q (x)$    p=2*x^4-3*x^3+x^2-2
   q=2*x^4+x^3-x+4
   p+q
   p-q

即可得出 $P (x) + Q (x) = 4 x 4 - 2 x 3 + x 2 - x + 2$ 及 $P (x) - Q (x) = - 4 x 3 + x 2 + x - 6$

多項式的乘法

例題：計算兩多項式 $P (x) = 2 x^{3} - x + 3$ 與 $Q (x) = - 3 x^{2} + 2 x - 5$ 的乘積    p=2*x^3-x+3
   q=-3*x^2+2*x-5
   p*q

但是出來會發現結果 $P (x) Q (x) = - (3 x 2 - 2 x + 5) (2 x 3 - x + 3)$ 並未展開。此時我們需要使用前面介紹過的展開指令 expand(p*q)

即可得出展開後的結果 $P (x) Q (x) = - 6 x 5 + 4 x 4 - 7 x 3 - 11 x 2 + 11 x - 15$

多項式的除法

例題：計算 $P (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3 x - 4$ 與 $Q (x) = x^{2} - x - 3$ 的乘積    p=x^4-2*x^2+3*x-4
   q=x^2-x-3
   p.maxima_methods().divide(q)

得出結果如下： $[x 2 + x + 2, 8 x + 2]$ ⁵

拉格朗日插值多項式

例題：求二次多項式函數 $f (x)$ 使函數圖形通過平面上三點 $P (1, - 2)$ ， $Q (2, 3)$ ， $R (3, 12)$ .⁶    R = PolynomialRing(QQ, ’x’)
   f = R.lagrange_polynomial([(1,-2),(2,3),(3,12)])
   f

可得出結果： $2 x 2 - x - 3$

Chapter 2
第二冊有限數學（Sagemath 與 R 語言）

此部分將以 sagemath 另一個強大的部分：支援多種開源套裝軟體的語言環境，進行大略的使用教學。在此章節中，我們將在 Sage notebook 平台上編寫並執行常用於統計的 R 語言。

Figure 2.1: 選擇 R 語言進行編寫

2.1 排列、組合

典型機率計算中的排列組合，可由factorial階層函數與choose函數分別達成。

2.1.1 排列

例題：奧運棒球複賽共有8隊參加，假設每隊都有奪牌的可能，如此分別得到冠軍、亞軍與季軍的隊伍可能有幾種可能？

根據題目，我們可以列出所求為 $P_{3}^{8} = \frac{8!}{(8 - 3)!}$
透過 R 語言，我們可以輸入以下函式

factorial(8)/factorial(8-3)

即可得到輸出結果 $[1] 336$

2.1.2 組合

組合的部分，R已內建 choose() 函式供我們使用。
例題：8個人組成3個人一隊的隊伍，有幾種組合方式？

根據題目，我們可以列出所求為 $C_{3}^{8} = \frac{8!}{3! (8 - 3)!}$
但透過 choose() 函式即可方便求解。

choose(8,3)

即可得到輸出結果 $[1] 56$

2.2 機率統計

2.2.1 機率

實驗模擬一：袋中有3顆白球，2顆紅球，隨機從袋中取出一顆球，抽出紅球的機率。

    x=c(0,0,0,1,1)                   %建立樣本空間
    s=sample(x,10000,replace=TRUE)   %一次取一顆且取後放回，共取10000次
    red=sum(s==1)                    %篩選與計算所要的樣本數
    red/10000                        %計算比例

得出來的結果每次都會不同，但都非常接近 $0.4$

實驗模擬二：從10個紅球與8個白球中隨機取出2個球。試求條件機率 P(兩球皆紅球 $|$ 至少取到一顆紅球)= ?

    x=rep(c(1,0),c(10,8))            %建立樣本空間
    A=replicate(10000,sample(x,2))   %重複實驗10000次
    s=A[1,]+A[2,]                    %篩選與計算所要的樣本數
    n=sum(s==2)
    m=sum(s>=1)
    n/m                              %計算比例

結果會非常接近以公式所得之解: $0.36$

2.2.2 二項分佈

透過R來進行二項分佈的繪圖

例題：設隨機變數 $X$ 的取值表示投擲一枚硬幣四次後，正面出現的總次數。試於下列條件下繪出其機率質量函數圖。
(1)此為均勻的硬幣，出現正面機率 $p = \frac{1}{2}$ .
(2)此為不均勻的硬幣，出現正面機率 $p = \frac{1}{3}$ .

(1)

n=4; p=1/2; X=seq(0,n)
plot(X, dbinom(X,n,p), type=’h’, main=’dbinom(0:4, n=4, p=1/2)’, xlab=’X’)

(2)

n=4; p=1/3; X=seq(0,n)
plot(X, dbinom(X,n,p), type=’h’, main=’dbinom(0:4, n=4, p=1/3)’, xlab=’X’)

2.2.3 抽樣

簡單隨機抽樣

例題：從1到10中隨機取3個數字

sample(1:10,size=3)

結果： $[1] 9 6 4$

Chapter 3
第四冊線性代數（矩陣運算）

3.1 矩陣

3.1.1 矩陣的運算

矩陣的加減法

這裡將介紹矩陣加法、減法與乘法¹ 的操作。

以 $2 \times 2$ 的矩陣加減法為例：

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}], B = [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}]

A + B = [\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{matrix}]

A - B = [\begin{matrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} \end{matrix}]

A B = [\begin{matrix} a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21} & a_{11} \times b_{12} + a_{12} \times b_{22} \\ a_{21} \times b_{11} + a_{22} \times b_{21} & a_{21} \times b_{12} + a_{22} \times b_{22} \end{matrix}]

如果要建立以未知數(或符號)的矩陣，我們要先進行以下的操作

var("a_11 , a_12 , a_21 , a_22")
var("b_11 , b_12 , b_21 , b_22")

接著才定義A、B兩矩陣

A = matrix([[a_11, a_12], [a_21, a_22]])
B = matrix([[b_11, b_12], [b_21, b_22]])

先來看看我們輸入的結果

    A
         [a_11 a_12]
         [a_21 a_22]
    B
         [b_11 b_12]
         [b_21 b_22]

進行 A+B 與 A-B 的運算

    A+B
         [a_11 + b_11 a_12 + b_12]
         [a_21 + b_21 a_22 + b_22]
    A-B
         [a_11 - b_11 a_12 - b_12]
         [a_21 - b_21 a_22 - b_22]
    A*B
         [a_11*b_11 + a_12*b_21 a_11*b_12 + a_12*b_22]
         [a_21*b_11 + a_22*b_21 a_21*b_12 + a_22*b_22]

3.1.2 平面上的線性變換

本節的內容主要介紹二階方陣的“線性變換”意涵。
任何一個二階方陣 $A = [\begin{matrix} a & b \\ b & c \end{matrix}]$ 定義了一個坐標平面上的線性變換，將點 $P (x, y)$ 對應到點 $P^{'} (X, Y) = P^{'} (a x + b y, c x + d y)$ , 即

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \to [\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b \\ b & c \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} a x + b y \\ c x + d y \end{matrix}]

這裡將使用以下模組 ²

linear_transformation(A, side=’right’)

例題：

設 $A = [\begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{matrix}]$ 所定義的線性編換分別把 $O (0, 0), P (1, 0), Q (0, 1), R (2, 3)$ 對應到 $O^{'}, P^{'}, Q^{'}, R^{'}$ 四點，求各坐標。
    A = matrix([[2, 5], [1,3]])
    phi = linear_transformation(A, side=’right’)
    O = [0,0]
    P = [1,0]
    Q = [0,1]
    R = [2,3]
    phi(O)
    phi(P)
    phi(Q)
    phi(R)

逐行輸入後會得到以下變換結果

    phi(O)
         (0, 0)
    phi(P)
         (2, 1)
    phi(Q)
         (5, 3)
    phi(R)
         (19, 11)
若 $A$ 把點 $S$ 對應到 $S^{'} (4, 7)$ ，試求 $S$ 點坐標。

此題可由A的反矩陣進行運算
    A = matrix([[2, 5], [1,3]])
    B = matrix([[4],[7]])
    ~A*B

即可得出結果為

    [-23]
    [ 10]

Chapter 4
數學甲I（Sage的互動功能）

4.1 三角函數

4.1.1 三角函數的圖形

三角函數圖形的平移與伸縮

這個部分將使用 @interact ，透過互動功能改變 $f (x) = a sin (b x + c) + d$ 中 $a, b, c, d$ 四個變數，讓學生可以進行實際操作，加深對 $sin$ 函數平移、伸縮的印象，並加入了 $cos$ 函數的顯示功能，可以讓學生了解 $cos$ 與 $sin$ 函數的關係。

程式示範：

  #第一部分
  @interact
  def scale(a=slider([-10..10],default = 1, label="a"),
  b=slider([1..10],default = 1,label="b"),
  c=slider(srange(-10,10,0.5),default = 0, label="c"),
  d=slider([-10..10],default = 0, label="d"),
  cosin=checkbox(False, "cos(x)")):

  #第二部分
      if cosin:
          show(plot(sin(x),-10,10,color=(1,0,0))+
          plot(a*sin(b*x+c*pi)+d,-10,10)+
          plot(cos(x),-10,10,color=(0,1,0)),aspect_ratio=1)
      else:
          show(plot(sin(x),-10,10,color=(1,0,0))+
          plot(a*sin(b*x+c*pi)+d,-10,10),aspect_ratio=1)

  #第三部分
      print ’y_blue=a*sin(b*x+c*pi)+d’
      print ’y_red=sin(x)’
      print ’y_green=cos(x)’

程式說明：
Sage本身即以 python 作為主要架構的軟體，因此大部份程式寫法均與 python 通用。這個程式分成三個區塊：定義、邏輯判斷、輸出文字

第一部分：
宣告使用 @interact 以進行互動功能並定義滑桿區函數¹ ，括號內之slider為滑桿函數² ，checkbox為單選方塊，可決定是與否。

  @interact
  def scale(a=slider([範圍],default=預設值,label="滑桿顯示名稱"),...,
     cosin=checkbox(預設是或否, label="單選方塊顯示名稱"))):

第二部分：
使用 if 決定當 $cos$ 顯示狀態³ 為 True 時該顯示的圖形，else 則為當 $cos$ 顯示狀態為 False 所該畫出來的圖形。此處圖形語法和前面章節繪製函數圖形方法相同，不另加描述。

第三部分：
輸出所要表達的文字，此處三行分別提示不同顏色所代表的函數圖形。

執行結果示意圖：

附錄 A
SageTEX

SageTEX套件可以讓你在 LATEX中使用 Sage 強大的計算與繪圖功能。有了這個套件，當你在 LATEX中需要用到如

2 6^{3} * 1 0^{3}

這類的大數字，再也不需要自己計算後再輸入文件中，一切讓 Sage 來作就可以了。此文件中大部分的圖形皆使用 SageTEX來完成。

註：使用 SageTEX需有 LATEX排版基礎。

A.1 SageTEX的安裝

SageTEX的安裝並不困難，安裝完 Sage ，SageTEX自然就在您的電腦裡。唯一要做的是：確認您的 TEX有找到 SageTEX所使用的 package ：sagetex.sty 。這個檔案位於 Sage 軟體根目錄底下的 /local/share/texmf/tex/generic/sagetex/ 。當你在執行 pdﬂatex 時可以檢查資料夾內有沒有生成 *.sagetex.sage 。如果沒有，到上列目錄將 sagetex.sty 拷貝，和 tex 放入同一個資料夾內即可。

A.2 SageTEX的使用

SageTEX的使用分為兩部份：在 *.tex 檔中的寫法與執行方法¹ 。

以下為撰寫 tex 檔的幾個重點：

首先，必須在套件區引入 sagetex
\usepackage{sagetex}
sageblock

任何在 sageblock 之間的文字都會被輸入進檔案內，也會送進 *.sage 檔中執行。這意味著你可以做下列的事情：
\begin{sageblock}

       f(x)= exp(x) * sin(2*x)

\end{sageblock}

之後在文章中有使用到 sageblock 裡面東西的時候，如 f 的二次微分為
$e x sin (2 x) = - 3 e x sin (2 x) + 4 e x cos (2 x)$
即是使用\sage將 $f (x)$ 引入算式中並自動完成，如下表示² 。

  \[
  \sage{f(x)} = \sage{diff(f, x, 2)(x)}
  \]
繪圖

\sageplot可以將圖畫出，並自動引入文章內，中括號內為圖形格式設定，後方大括號為圖形函數。
\sageplot[width=6cm]{plot(f, -1, 1)}

即可在文章中插入圖形結果如下：

執行方法：
以下在終端機界面執行，執行前務必確認可以於終端機中輸入 sage 呼叫 sage 軟體。以下操作皆在 *.tex 所屬資料夾中執行。

將 *.tex 檔以 pdﬂatex 跑過一次
pdflatex *.tex
此時會生成 *.sagetex.sage 檔，將此檔案以 sage 跑過一次³ 。
sage *.sagetex.sage
最後在執行一次步驟一即完成整個流程
pdflatex *.tex

參考資料

[1] 教育部（2008）。《普通高級中學必修/選修科目「數學」課程綱要》

[2] 教育部（2009）。《高中數學科資訊科技融入教學教材》。
網址：http://hsmaterial.moe.edu.tw/schema/ma/data/sun/menu/index.html。

[3] Sage Documentation v5.9. Available from: http://www.sagemath.org/doc/index.html.

[4] high-school-sage - Sage for high school students - Google Project Hosting.
Available from: http://code.google.com/p/high-school-sage/

[5] 余文卿（2012）。《普通高級中學數學(1,2)教師手冊》。再版。臺南市：翰林出版社。

[6] 游森棚（2011）。《普通高級中學數學(3,4)教師手冊》。初版。臺南市：翰林出版社。

[7] 游森棚（2012）。《普通高級中學選修數學甲(上,下)教師手冊》。初版。臺南市：翰林出版社。

[8] 陳景祥（2010）。《R軟體：應用統計方法》。台北市，東華書局。

[9] 林炯伊（2011）。《如何以自由軟體「R」輔助高中機率統計課程的學習》
高中數學學科中心電子報。

[10] interact/graphics - Sage Wiki. Available from: http://wiki.sagemath.org/interact/graphics

[11] Using SageTeX. Available from: http://www.sagemath.org/doc/tutorial/sagetex.html

[12] Dan Drake(2009). ”The SageTEX package”.
Available from: http://mirror.hmc.edu/ctan/macros/latex/contrib/sagetex/sagetexpackage.pdf